Exercise 3.5

Q.1       Solve the following pairs of equations by reducing them to a pair of linear equations :
(i) 12x+13y=2
13x+12y=136
(ii) 2x√+3y√=2
4x√−9y√=−1
(iii) 4x+3y=14  
3x−4y=23
(iv) 5x−1+1y−2=2        
6x−1−3y−2=1
(v) 7x−2yxy=5 8x+7yxy=15
(vi) 6x + 3y = 6xy
2x + 4y = 5xy(vii) 10x+y+2x−y=4
15x+y−5x−y=−2 (viii) 13x+y+13x−y=34
12(3x+y)−12(3x−y)=−18

Sol.       (i) Taking 1x=u and 1y=v . The given system of equations become
              12u+13v=2
              ⇒ 3u + 2v = 12 ...(1)
              13u+12v=136
              ⇒ 2u + 3v = 13...(2) 
              Multiplying (1) by 3 and (2), we have
              9u + 6v = 36 ...(3)
              and, 4u + 6v = 26 ...(4) 
              Subtracting (4) from (3), we get
              5u = 10
              ⇒ u = 2
              Putting u = 2 in (3), we get
             18 + 6v = 36
             ⇒ 6v = 18
             ⇒ v = 3
             Now, u = 2
             ⇒ 1x=2
             ⇒ x=12
             and, v = 3
             ⇒ 1y=3
             ⇒ y=13
             Hence, the solution is x = 12 , y=13 .

            (ii) The given system of equations is
            2x√+3y√=2 and 4x√−9y√=−1
            Putting u=1x√ and v=1y√ .Then , the given equations become
            2u + 3v = 2 ...(1)
            and, 4u – 9v = – 1 ...(2)
            Multiplying (1) by 3, we get
            6u + 9v = 6...(3)
            Adding (2) and (3), we get
            10u = 5
            ⇒ u=510=12
             Putting u=12 in (1), we get
             2×12+3v=2
             ⇒ 3v = 1
             ⇒ v=13
             Now, u=12
             ⇒ 1x√=12
             ⇒ x−−√ = 2
             ⇒ x = 4
             and, v=13
             ⇒ 1y√=13
             ⇒ y√ = 3
             ⇒ y = 9
             Hence, the solution is x = 4, y = 9.

            (iii) The given system of equations is  

            4x+3y=14 ...(1) 
            and, 3x−4y=23 ...(2)
            Multiplying (1) by 4 and (2) by 3, we get
            16x+12y=56 ...(3)
            and, 9x−12y=69 ...(4)
            Adding (3) and (4), we get
            25x=125
            ⇒ x=25125=15
            Putting x=15 in (1), we get
            4×5+3y=14
            ⇒ 3y = 14 – 20
            ⇒ 3y = – 6
            ⇒ y = – 2
            Hence, the solution is x=15 , y = – 2.


            (iv) Let u=1x−1,v=1y−2 . Then, the given system of equations becomes
            5u + v = 2 ...(1)
            and, 6u – 3v = 1 ...(2)
            Multiplying (1) by 3, we get
            15u + 3v = 6 ...(3)
            Adding (2) and (3), we get
            21u = 7
            ⇒ u=13
            Putting u=13 in (1), we get
            53+v=2
            ⇒ v=2−53=6−53=13
            Now, u=13
            ⇒ 1x−1=13
            ⇒ x – 1 = 3
            ⇒ x = 4
             v=13
             ⇒ 1y−2=13
             ⇒ y – 2 = 3
             ⇒ y = 5
            Hence, the solution is x = 4, y = 5.

           (v) The given system of equations is
           7x−2yxy=5
           ⇒ 7y−2x=5
           and, 8x+7yxy=15
           ⇒ 8y+7x=15
            Let u = 1x , v = 1y . Then, the above equations become
            7 – 2u = 5 ...(1)
            and, 8v + 7u = 15 ...(2)
            Multiplying (1) by 7 and (2), we get
            49v – 14u = 35 ...(3)
             and, 16v + 14u = 30
             Adding (3) and (4), we get
             65v = 65
             ⇒ v = 1
             Putting v = 1 in (1), we get
             7 – 2u = 5
             ⇒ – 2u = – 2
             ⇒ u = 1
             Now, u = 1
             ⇒ 1x=1
             ⇒ x = 1
              and, v = 1
              ⇒ 1y=1
              ⇒ y = 1
              Hence, the solution is x = 1, y = 1.

              (vi) The given system of equations is 6x + 3y = 6xy and 2x + 4y = 5xy, where x and y are non -zero.
              Since x≠0,y≠0, , we have xy ≠ 0.
              On dividing each one of the given equations by xy we get
              3x+6y=6 and 4x+2y=5
              Taking 1x=u and 1y=v , the above equations become
               3u + 6v = 6...(1) 
               and, 4u + 2v = 5...(2) 
               Multiplying (2) by 3, we get
               12u + 6v = 15 ...(3)
               Subtracting (1) from (3), we get
               9u = 15 – 6 = 9
               ⇒ u = 1
               Putting u = 1 in (1), we get
               3×1 + 6v = 6
               ⇒ 6v = 6 – 3 = 3
               ⇒ v=12
                Now, u = 1
                ⇒ 1x=1
                ⇒ x = 1
                and, v=12
                ⇒ 1y=12
                ⇒ y = 2
                Hence, the given system of equations has one solution x = 1, y = 2.

                (vii) The given system of equations is
                10x+y+2x−y=4
                15x+y−5x−y=−2
                Putting u=1x+y and v=1x−y . Then, the given equations become
                10u +2v = 4
                ⇒ 5u + v = 2 ...(1)
                and, 15u – 5v = – 2...(2)
                Multiplying (1) by 5, we get
                25u + 5v = 10 ...(3)
                Adding (2) and (3), we get
                40u = 8
                ⇒ u=15
                Putting u=15 in (1), we get
                5(15)+v=2
                ⇒ v = 2 – 1 = 1
                 Now, u=15
                ⇒ x + y = 5 ...(4)
                v = 1
                 ⇒ 1x−y=1
                ⇒ x – y = 1
                Adding (4) and (5), we get
                2x = 6
                ⇒ x = 3
                When x = 3, then from (4), we get
                 3 + y = 5
                 ⇒ y = 5 – 3 = 2
                 Hence, the given system of equations has one solution
                 x = 3, y = 2

               (viii) Taking u=13x+y and v=13x−y . The give system of equations becomes
                u + v =34 ...(1)
                12u−12v=−18
                ⇒ u – v = −14 ...(2)
                Adding (1) and (2), we get
                 2u = 34−14
                 ⇒ 2u=24=12
                 ⇒ u=14
                 Putting u=14 in (1), we get
                 14+v=34
                 ⇒ v=34−14=24=12
                 Now, u=14
                 ⇒ 13x+y=14
                 ⇒ 3x + y = 4...(3) 
                 and, v=12                  ⇒ 3x – y = 2...(4)
                 ⇒ 13x−y=12
                 Adding (3) and (4), we get
                 Putting x = 1 in (3), we get
                 3x + y = 4 
                 ⇒ y = 4 – 3 = 1
                 Hence, the solution is x = 1, y = 1.